Свойства окружности, касающейся прямой и треугольника

Заметим, что $MX$ и $MY$ – средние линии треугольников $BCE$ и $BCD$ (см. рисунок), поэтому $\angle XMB = \angle C$ и $\angle CMY = \angle B$. Тогда $$\angle YMX = 180^\circ - \angle XMB - \angle CMY = \angle A.$$ По свойству касательной и секущей к окружности имеем $BM^2 = BD \cdot BA$, откуда $$MY = \frac{BD}{2} = \frac{BM^2}{2 AB}.$$ Аналогично получаем $$MX= \frac{CM^2 }{2 AC}.$$ Деля одно на другое и пользуясь тем, что $BM = CM$, находим $$\frac{MY}{MX} = \frac{BM^2}{CM^2} \cdot \frac{2 AC}{2 AB} = \frac{AC}{AB}.$$ Получаем, что треугольники $BAC$ и $XMY$ подобны по углу и отношению прилежащих сторон. Лемма (обратная теорема об угле между касательной и хордой). Пусть в треугольнике $PQR$ угол $Q$ равен углу между отрезком $PR$ и прямой $\ell$, проходящей через $R$, как на рисунке. Тогда прямая $\ell$ касается описанной окружности треугольника $PQR$. Доказательство леммы. Проведем прямую $\ell'$, касающуюся окружности в точке $R$. Тогда по теореме об угле между хордой и касательной угол между прямой $\ell'$ и отрезком $PR$ тоже равен углу $Q$ треугольника. Отсюда следует, что $\ell$ и $\ell'$ совпадают. Лемма доказана.

Тогда $\angle XYM = \angle ACB = \angle XMB$. Получается, что в описанной окружности треугольника $XMY$ угол, опирающийся на хорду $XM$, равен углу между хордой $XM$ и прямой $BC$. Используя лемму, заключаем, что прямая $BC$ касается окружности, описанной вокруг треугольника $XMY$. Это и означает, что рассматриваемые окружности касаются.