Углы в треугольнике: олимпиадная задача по планиметрии

Пусть $K$ — середина стороны $AC$, $AC = b$ и $BK = m$. Тогда прямые $KC_1$ и $KA_1$ касаются окружности, описанной вокруг треугольника $A_1BC_1$, так как углы, отмеченные на рисунке слева

одинаковым образом, равны. По условию точка $M$ лежит на окружности, описанной вокруг треугольника $A_1BC_1$. Поэтому $(b/2)^2 = KC_1^2 = KM\cdot KB = m/3 \cdot m$, так как точка $M$ делит медиану $BK$ в отношении $2:1$. Отсюда $m = \sqrt{3} b/2$, и при фиксированном $b$ точка $B$ лежит на окружности с центром $K$ и радиусом $\sqrt{3}b/2$. В одном из положений получается точка $B'$ — вершина правильного треугольника $AB'C$. Получаем картинку, изображённую на рисунке справа.

Точка $B$ лежит на дуге $B_1B_2$ большей окружности, так как треугольник $ABC$ остроугольный. При этом угол $B$ меняется в достаточно малом диапазоне: от $\arctan\sqrt2$, не включая (это наименьшее значение соответствует точкам $B_1$ и $B_2$ и прямоугольному треугольнику $ABC$ с катетами $b$ и $b/\sqrt2$), до $60^\circ$ (это наибольшее значение угла $B$, поскольку две окружности на рисунке справа касаются внутренним образом, и поэтому $\angle ABC < \angle AB'C$ при $B\neq B'$). В силу непрерывности угла $ABC$ при движении точки $B$ по дуге $B'B_2$ любое промежуточное значение из интервала $(\arctan\sqrt2;60^\circ)$ соответствует некоторому положению $B''$ точки $B$. Для построенного треугольника $AB''C$ точка $M$ будет лежать на окружности, описанной около треугольника $A_1BC_1$, так как будет выполнено соотношение $KC_1^2=KM\cdot KB$. Комментарий. Соотношение $(b/2)^2=m^2/3$ можно получить и другим способом. Если $D$ — точка, симметричная $B$ относительно точки $K$, то $ABCD$ — параллелограмм, поэтому $\angle DAH=\angle DCH=90^\circ$, и, кроме того, $\angle DMH=180^\circ-\angle BMH=90^\circ$. Поэтому точки $A$, $C$ и $M$ лежат на окружности, построенной на $DH$ как на диаметре. Следовательно, $AK\cdot KC=MK\cdot KD$, откуда и следует требуемое соотношение.