Олимпиадная задача по планиметрии: Шесть треугольников

Рассмотрим 3 палочки длины 1 и палочку длиныa. Тогда из палочек можно сложить либо правильный треугольник со стороной 1, либо треугольник со сторонами 1, 1,a. Подберемa, чтобы эти треугольники имели равную площадь. Для этого достаточно, чтобы высоты к сторонам длины 1 в этих треугольниках совпали, а это равносильно тому, что углы между единичными сторонами либо равны, либо в сумме дают 180°. То есть нужно подобратьaтаким, чтобы искомый угол был равен 120° ; очевидно, такой существует ($a = \sqrt{3}$).Комментарий. На самом деле несложно доказать, что единственный пример, когда не все палочки одинаковой длины, это $(x,x,x,\sqrt{3}x)$.