Окружность, проходящая через важные точки треугольника ABC

  Будем использовать стандартные обозначения $a, b, c$ и $p$ для длин сторон и полупериметра треугольника $ABC$.

  Пусть первая вневписанная окружность касается прямой $BC$ в точке $K$. Поскольку $KM$ – медиана прямоугольного треугольника $CKI$, то при повороте на угол

φ = 180° – $\angle C$  прямая $BC$ переходит в прямую $AC$. При этом точка $K$ переходит в $C$, точка $B$ – в $B_1$, а точка $A_1$ – в $A$ (как известно,  $KB = CB_1 = p - a$,  $BA_1 = B_1A = p - c$).  Поэтому  $MA = MA_1$,  $MB = MB_1$.

  Равнобедренные треугольники $A_1MA$ и $B_1MB$ подобны (у обоих углы при вершине $M$ равны φ). Значит,  $\angle MAN = \angle MAA_1 = \angle MB_1B = \angle MB_1N$,  что и требовалось.