Пересечение прямых на вписанной окружности треугольника

Пусть $X$ – точка пересечения $RK$ и $SN$. Прямые $NK$ и $RS$ параллельны, поскольку перпендикулярны биссектрисе угла $B$. Угол $NMK$ равен углу $NKB$ между касательной и хордой, а последний – углу $SBK$ по доказанной параллельности. Следовательно, четырёхугольник $RBKM$ вписанный. Поэтому  $\angle RKM = \angle RBM$.  Аналогично  $\angle SNM = \angle SBM$.  Но углы $RBM$ и $SBM$ дают в сумме 180°, значит, и углы $XKM$ и $XNM$ – тоже. Следовательно, четырёхугольник $NMKX$ вписанный, что и требовалось.