Олимпиадная задача: угол BKC в треугольнике ABC
В остроугольном треугольнике ABC углы B и C больше 60°. Точки P, Q на сторонах AB, AC таковы, что A, P, Q и ортоцентр треугольника H лежат на одной окружности; K – середина отрезка PQ. Докажите, что ∠BKC > 90°.
Разобрать решение
Пусть BB′, CC′ – высоты треугольника. Так как ∠PHQ = 180° – ∠A = ∠B′HC′, треугольники HB′Q и HC′P подобны. Значит, когда точка P равномерно движется по отрезку AB, точка Q также равномерно движется по AC, а тогда и точка K движется по некоторому отрезку. Поскольку
∠AHC′ = ∠C > ∠A = ∠CHB′ и ∠AHB′ > ∠BHC′, крайние точки этого отрезка соответствуют совпадению точки P с B или Q с C. Рассмотрим для определенности последний случай (см. рис.).
В этом случае ∠HCP= ∠HAP= ∠HCB, то есть треугольникBCPравнобедренный и расстояние отKдо серединыBCравноBC'. Поскольку ∠B> 60°, BC'< ½BC иKлежит внутри окружности с диаметромBC. Аналогично внутри этой окружности лежит второй конец отрезка, по которому движется точкаK, а следовательно, и весь этот отрезок.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.