Доказательство о середине отрезка касательных окружностей
Центр окружности ω2 лежит на окружности ω1. Из точки X окружности ω1 проведены касательные XP и XQ к окружности ω2 (P и Q – точки касания), которые повторно пересекают ω1 в точках R и S. Докажите, что прямая PQ проходит через середину отрезка RS.
Разобрать решение
Пусть O – центр ω2. Так как XO – биссектриса угла PXQ, то OR = OS. Первый способ. Прямоугольные треугольники OPR и OQS равны по катету и гипотенузе, то есть PR = QS (см. рис.). Поскольку ∠;XPQ = ∠XQP, то точки R и S равноудалены от прямой PQ, что равносильно утверждению задачи.
Второй способ. Середина K отрезка RS – это проекция O на прямую RS. Точки P, Q и K лежат на одной прямой – прямой Симсона точки O (см. задачу [152421](https://mirolimp.ru/tasks/152421).
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.