Постройте точку K в треугольнике ABC с определенными углами

  Пусть окружность ω с центром K и радиусом KB пересекает AB и BC в точках P и Q соответственно, а T – середина дуги ABC описанной окружности. Тогда   ∠KPB = ∠KBP = 2∠KAP,  следовательно,  ∠KAP = ∠PKA  и  AP = PK = KB.  Аналогично  CQ = QK = KB.  Поскольку

AP = CQ,  AT = CT  и  ∠PAT = ∠QCT,  треугольники TAP и TCQ равны, то есть  ∠TPB = ∠TQB  и точка T лежит на ω. Значит, центр K этой окружности лежит на серединном перпендикуляре к BT. Кроме того, из условия следует, что  ∠AKC = ^3∠B/₂,  то есть K лежит на соответствующей дуге (см. рис.).

  Докажем, что построенная таким образом точкаKудовлетворяет условию. Поскольку в этом случае окружность ω проходит через точкуT, то ∠PTQ= ∠PBQ= ∠B= ∠ATB.  Следовательно,  ∠ATP= ∠CTQ,  и треугольникиATPиCTQравны по стороне и двум углам. Значит,  AP = CQ.   Если, например,  AP > PK = KB,  то  ∠PKA> ∠PAK,  ∠KPB> ∠KPB> 2∠BAK,  ∠KBC> 2∠KCB  и  ∠AKCK.   Аналогично при  AP < PK  получаем  ∠AKC>^3∠B/₂.