Задание по олимпиадной математике: углы и выпуклый четырёхугольник

  Шаг 1. Обозначим через P точку пересечения общих внешних касательных к ω_A и ω_D (точка D может оказаться бесконечно удалённой), а через R – точку пересечения общих внешних касательных к ω_A и ω_C (рис. слева). Заметим, что P лежит на прямой AD; а R – на BD.

  Покажем, что условие  ∠BI_AA = 180° – ∠I_CI_AI_D   (*)   равносильно тому, что прямая l_A, проходящая через P и R, – общая касательная к окружностям ω_A, ω_C и ω_D. Пусть для определённости точка P лежит на луче DA (другие случаи аналогичны). Поскольку ω_A вписана в треугольник ABD, то

∠AI_AB = 90° + ½ ∠ADB;  с другой стороны,  180° – ∠I_CI_AI_D = ∠PI_AR.  Значит, (*) равносильно равенству  ∠PI_AR = 90° + ½ ∠PDR.

  Обозначим через J центр вписанной окружности треугольника PDR. Точки I_A и J лежат на биссектрисе этого треугольника из точки D, а (*) равносильно тому, что  ∠PJR = ∠PI_AR  – то есть совпадению точек J и I_A. Это, в свою очередь, означает, что прямые PR и RD симметричны относительно прямой I_AI_C, а прямые PD и PR симметричны относительно I_AI_D, то есть что PR касается всех трёх окружностей ω_A, ω_C и ω_D (ω_C лежит по другую сторону от PR, нежели остальные две).

  Аналогично условие  ∠BI_BA + ∠I_CI_BI_D = 180°  равносильно тому, что у окружностей ω_A, ω_C и ω_B существует общая касательная l_B, относительно которой ω_C и ω_D лежат по одну сторону, а ω_A – по другую. Осталось доказать, что эти два факта равносильны.

 Шаг 2. Обозначим точку касания окружности ω_AсADчерезA_AD; аналогично обозначим другие точки касания (рис. справа). Заметим, что A_ADD_AD = |AA_AD – AD_AD| = |½ (AB + AD – BD) – ½ (AC + AD – CD)| = ½ |AB + CD – BD – AC|;  аналогично B_BCC_BC= ½ |AB + CD – BD – AC| =A_ADD_AD,  A_BDC_BD= ½ |AD + BC – AB – CD| =B_ACD_AC.   Предположим теперь, чтоl_Aкасается окружностей ω_A, ω_Cи ω_Bв точкахL_A, L_CиL_Dсоответственно. Тогда  L_AL_D = A_ADD_AD = B_BCC_BC  и L_AL_C = A_BDC_BD = D_ACB_AC.   Рассмотрим окружности ω'_B, ω'_Cи ω'_Dс центрамиI'_B, I'_CиI'_D, имеющие те же радиусы, что и ω_B, ω_Cи ω_Dсоответственно, и касающиесяl_Aв точкахL_A, L_DиL_Cсоответственно (причём ω'_Bи ω'_Cлежат по одну сторону отl_A, а ω'_D– по другую). Тогда соответственные отрезки общих касательных к ω'_B, ω'_C, ω'_Dи к ω_B, ω_C, ω_Dимеют одинаковые длины (для ω_Cи ω_Dэто очевидно, для остальных пар следует из сказанного выше).   Отсюда легко следует, что соответственные стороны треугольниковI_BI_CI_DиI'_BI'_CI'_Dравны (например,  I'_BI'_C = I_BI_C  из равенства четырёхугольниковI'_BL_AL_DI'_CиI_BB_BCC_BCI_C). Поэтому и конфигурации окружностей  (ω_B, ω_C, ω_D)  и  (ω'_B, ω'_C, ω'_D)  также равны. Поскольку окружности в одной тройке касаются одной прямойl_A, то же верно и для другой тройки. Это и нужно было доказать.