Угол между вписанным и описанным квадратами

  Пусть ABCD и A₁B₁C₁D₁ – данные квадраты, O – центр окружности, M – точка касания окружности со стороной BC (см. рис.).

  Первый способ. Пусть α – искомый угол. Поскольку M – середина гипотенузы прямоугольного треугольника BB₁C, то  ∠MB₁C = ∠MCB₁ = α.  С другой стороны, ∠CMC₁ = ∠MB₁C₁  как угол между касательной и хордой. Следовательно,  ∠MC₁B₁ = 2α.

  Заметим, что радиус окружности равен половине стороны бóльшего квадрата, то есть треугольник B₁OM – равносторонний и

∠MC₁B₁ = ½ ∠MOB₁ = 30°.   Второй способ. Пусть OQ – перпендикуляр к A₁D₁ (см. рис.). Тогда     Следовательно,  ∠OAQ = 30°,

а  ∠OAD₁ = ∠OAD – ∠OAQ = 15°.