Движение центра описанной окружности треугольника CEF
Вокруг треугольника ABC с острым углом C описана окружность. На дуге AB, не содержащей точку C, выбрана точка D. Точка D' симметрична точке D относительно прямой AB. Прямые AD' и BD' пересекают стороны BC и AC в точках E и F. Пусть точка C движется по своей дуге AB. Докажите, что центр описанной окружности треугольника CEF движется по прямой.
Разобрать решение
Заметим, что четырёхугольник CED'F – вписанный. Действительно, ∠ED'F = ∠AD'B = ∠ADB, следовательно,
∠ECF + ∠ED'F = ∠ECF + ∠ADB = 180° (рис. слева).
ПустьC'– такое положение точкиCна окружности, что C'D'⊥AB (рис. справа). ПосколькуDиD'симметричны относительноAB, тоD'– точка пересечения высот треугольникаABC'(см. задачу[155463](https://mirolimp.ru/tasks/155463)). Пусть прямыеAD'иBD'пересекают стороныC'BиC'Aв точкахA1иB1соответственно, а описанные окружности треугольниковABCиA1B1C'пересекаются в точкеP. ПустьM– серединаAB, а прямаяPD'повторно пересекает окружность в точкеQ. Заметим, что ∠C'PD'= 90°, значит, точкаQдиаметрально противоположна точкеC', то естьQсимметричнаD'относительноM(см. решение задачи[208600](https://mirolimp.ru/tasks/208600)). Следовательно,AQBD'– параллелограмм и AD' || QB. ПосколькуPQBC– вписанный четырёхугольник, ∠PD'E+ ∠PCE= ∠PQB+ ∠PCE= 180°. Следовательно, все окружности, описанные около треугольниковCEF, проходят через две фиксированные точки –D'иP. Центры таких окружностей лежат на серединном перпендикуляре к отрезкуPD'.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.