Площадь черного треугольника и серых квадратов

  Пусть ABCD и A₁B₁C₁D₁ – данные квадраты, F – точка пересечения отрезков AB и A₁D₁, G – точка пересечения отрезков CD и C₁D₁, а O – центр квадрата ABCD (см. рис.).

  Поскольку уголBOCпрямой, то четырёхугольникBB₁CO– вписанный. Так как  BO = CO,  тоB₁O– биссектриса углаBB₁C, то естьB₁D₁проходит через точкуO. Кроме того,  ∠D₁OD= ∠B₁OB= ∠B₁CB= ∠DGD₁,  то есть четырёхугольникDGOD₁также вписанный. Значит,  OG⊥OD₁.  Аналогично  OF⊥OD₁,  то есть прямаяFGпроходит черезO. Итак, прямыеB₁D₁иFGперпендикулярны и проходят через центр квадрата.   Следовательно, отрезкиCGиAFравны (они симметричны относительноO). ОтрезкиBFиAD₁также равны (они получаются друг из друга поворотом на 90° вокругO). Поэтому    В силу очевидного подобия треугольниковCC₁G, FA₁BиFAD₁отсюда следует утверждение задачи.