Задачи Незнайки с логарифмами: найдите подходящие числа
Незнайка знаком только с десятичными логарифмами и считает, что логарифм суммы двух чисел равен произведению их логарифмов, а логарифм разности двух чисел равен частному их логарифмов. Может ли Незнайка подобрать хотя бы одну пару чисел, для которой действительно верны одновременно оба этих равенства?
Показать ответ
Не может.
Разобрать решение
Предположим, что такие числа x и y < x существуют. Тогда они удовлетворяют системе уравнений lg(x + y) = lg x lg y, lg(x – y) = lg x/lg y.
Если 0 < x ≤ 1, то левая часть второго уравнения отрицательна, а правая часть неотрицательна. Противоречие.
Если 0 < y < 1 и x ≥ 1, то левая часть первого уравнения положительна, а правая часть неположительна. Противоречие.
Пусть x > y > 1. В этом случае все логарифмы положительны. Сложим уравнения системы и применим неравенство Коши:
lg(x² – y²) = lg(x + y) + lg(x – y) = lg x lg y + lg x/lg y ≥ 2lg x = lg x². Отсюда x² – y² ≥ x², что невозможно.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.