Угол B в треугольнике ABC и описанные окружности

  Пусть  ∠B = β.  Тогда  ∠AOC = 2β. Первый способ.  ∠AEC = ∠AOC = 2β,  ∠ECB = ∠AEC – ∠B = β,  то есть треугольник CEB – равнобедренный. Аналогично треугольник ABF – равнобедренный.

  Следовательно,  AB = 2BF cos β  и  BC = 2BE cos β.  Перемножив, получим  AB·BC = 4BE·BF cos²β. По условию  4cos²β = ^AB·BC/_BE·BF = ^SABC/_SBEF = 2.  Так как  2β < 180°,  то  

  Второй способ. Заметим, что  ∠BEO = ∠OCA = 90° – β,  так как четырёхугольник AEOC – вписанный, а треугольник AOC – равнобедренный. Значит, прямая EO – высота треугольника BEС. Аналогично FO – высота треугольника AFB. Так как O – центр окружности Ω, то прямые EO и FO делят стороны AB и СB соответственно пополам. Пусть M и N – середины AB и BС, тогда треугольник BMN подобен BFE с коэффициентом подобия cos β. С другой стороны, этот коэффициент равен    так как  S_BFE = ½ S_ABС ,  а  S_BMN = ¼ S_ABС.