Цунами на планете Тетраинкогнито: задача по планиметрии

  а) Рассмотрим развёртку в виде правильного треугольника и докажем, что кратчайший путь из его центра в любую точку будет на этой развертке отрезком. Пусть O – центр грани ABC, X – точка на грани ABD и некоторый путь из O в X пересекает сначала ребро AC (рис. слева). Если продолжить этот путь на развёртке, мы попадём в некоторую точку на ребре AD. Но в эту точку ведёт и путь через ребро AB, через которое в X можно попасть напрямую (рис. в центре).

  Поэтому площадь, которую накроет цунами, есть разность между площадью круга радиусом 600 км и утроенной площадью сегмента (рис. справа).    Площадь сегмента есть разность площадей сектора и треугольника:    откуда искомая площадь равна     б) Рассматривая "двойную" развертку тетраэдра и рассуждая, как в предыдущем случае, убеждаемся в том, что кратчайшие пути лежат внутри заштрихованного прямоугольника.

  Площадь, которую накроет цунами, есть разность площади круга и удвоенной площади сегмента.   ∠POA= arccos^OA/_OP= arccos ¾   ⇒   ∠POQ= 2arccos ¾,     а искомая площадь равна