Олимпиадная задача по планиметрии с четырёхугольником ABCD

Из условия следует, что точки B и D лежат на окружности с диаметром AC. Пусть K – такая точка отрезка AC, что  AK = BC  (см. рис.). Тогда  CK = CD,  то есть  ∠CKD = ∠CDK.  Кроме того, треугольники BCP и AKD равны, поскольку  AK = BC,  AC = BP  и  ∠KAD = ∠CAD = ∠CBD = ∠CBP.  Следовательно,  ∠BCP = ∠AKP = 180° – ∠CKD = 90° + ½ ∠ACD = 90° + ½ ∠ABD,  откуда  ∠BCP + ½ ∠ABD + ∠CBP = 90° + ∠ABD + ∠CBP = 180°,  что равносильно утверждению задачи.