Олимпиадная задача по планиметрии: игра с 100-угольником
Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка X, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают ещё не отмеченные вершины 100-угольника, причём Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка X будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася.
Разобрать решение
Раскрасим стороны 100-угольника в чёрный и белый цвета так, чтобы каждые две соседних стороны имели разные цвета. Рассмотрим две одноцветные стороны AB и CD, образующие выпуклый четырёхугольник ABCD; пусть его диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Предположим, что точка X лежит в треугольнике KBC (рис. слева). Укажем стратегию Пети для этого случая.
Первым ходом он выбирает вершины B и C. После этого оба игрока могут выбирать только вершины, лежащие в другой полуплоскости от прямой BC, нежели точка X. Этих вершин чётное число, поскольку они разбиваются на пары вершин, образующих стороны того же цвета, что и AB. Поэтому последний ход будет за Петей.
Осталось показать, что такие стороныABиCDнайдутся. Пусть это не так. Рассмотрим любую вершинуT. Предположим, что лучTXпересекает чёрную сторонуPQ(рис. справа). ПустьTR– чёрная сторона, выходящая изT; можно считать, чтоTRPQ– выпуклый четырёхугольник. Если точкаXлежит внутри треугольникаTRQ, то требуемый четырёхугольникRTQPнайден; в противном случае лучRXтоже должен пересекать отрезокPQ. ПустьRS– следующая заTRсторона 100-угольника. Если лучSXпересекает белую сторону, то аналогично доказывается, что лучRXтакже должен её пересекать, что не так. Значит,SXпересекает какую-то чёрную сторону, и можно повторить предыдущие рассуждения для вершиныS. Рассуждая так и дальше, мы получим, что для каждой чёрной стороныT'R'найдётся чёрная сторонаP'Q', которую пересекают оба лучаT'XиR'X. Однако это неверно для чёрной стороныPQ(лучиPXиQXпересекают участки контураQTиRPсоответственно). Противоречие.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.