Свойства касательных к окружности: олимпиадная задача
Окружность ω вписана в треугольник ABC, в котором AB < AC. Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны BC в точке A'. Точка X выбирается на отрезке A'A так, что отрезок A'X не пересекает ω. Касательные, проведённые из X к ω, пересекают отрезок BC в точках Y и Z. Докажите, что сумма XY + XZ не зависит от выбора точки X.
Разобрать решение
Будем считать, что точка Y лежит ближе к точке B, чем Z; кроме того, пусть сторона BC горизонтальна, а A лежит выше неё (см. рис.).
Обозначим через ωAуказанную вневписанную окружность, а через ω' – вневписанную окружность треугольникаXYZ, касающуюся стороныXZ. Пусть ω касаетсяBCв точкеA''. Обозначим черезTточку пересеченияAA'и ω, лежащую ближе кA. Гомотетия с центромA, переводящая ω в ωA, переводитTвA'; значит, касательная к ω вTпараллельнаBC. Поскольку окружности ω и ω' вписаны в вертикальные углы, образованные прямымиXYиXZ, существует гомотетия с центром вX(и отрицательным коэффициентом), переводящая ω в ω'. При этой гомотетии точкаTпереходит в самую нижнюю точку окружности ω'. С другой стороны, эта точка лежит на прямойAA', значит, она совпадает сA'. Таким образом, ω' касаетсяBCв точкеA'. Обозначим полупериметр треугольникаXYZчерезp. Так как окружности ω и ω' – вневписанные для этого треугольника, то ZA' = YA'' = p – YZ. Значит, XY + XZ= 2p – YZ= 2(p – YZ) +YZ = ZA' + YZ + YA'' = A'A'', то есть не зависит от выбора точкиX.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.