Задание олимпиады: степень двойки и многократности чисел

  Рассмотрим степени двойки, на которые делятся выписанные числа; пусть 2^k – наибольшая из них. Если хотя бы два выписанных числа делятся на 2^k, то два соседних таких числа будут различаться на 2^k. Значит, одно из них делится на 2^k+1, что невозможно в силу выбора k. Следовательно, среди выписанных чисел ровно одно делится на 2^k.

  Наименьшее общее кратное (НОК) группы, содержащей это число, будет делиться на 2^k, а НОК оставшейся группы – не будет. Значит, сумма этих НОК не делится на 2^k; с другой стороны, эта сумма больше чем 2^k. Поэтому эта сумма не может быть степенью двойки.