Задание олимпиады: Наименьшее значение коэффициента b

Пусть x₁, x₂, x₃, x₄ – корни уравнения (возможно, некоторые из них совпадают). По теореме Виета  b = x₁x₂ + x₁x₃ + x₁x₄ + x₂x₃ + x₂x₄ + x₃x₄,

d = x₁x₂x₃x₄,  а значит, b и d положительны. Заметим, что

  2 + 2 + 2   (неравенство Кощи). Поэтому  b ≥ 6  (d – целое, значит,  d ≥ 1).  Равенство достигается в случае, когда уравнение имеет четыре кратных корня, равных 1. В этом случае многочлен имеет вид

(x – 1)⁴ = x⁴ – 4x³ + 6x² – 4x + 1.