Найдите отношение радиусов окружностей треугольников ABC и OAOBOC

Решение 1:   Обозначим середины отрезков BC, BA' и CA' через K, L и M соответственно. Пусть X – центр описанной окружности треугольника KLM. Рассмотрим точку D, симметричную A относительно серединного перпендикуляра к стороне BC. Обозначим образы точек K, L, M и X при гомотетии с центром A и коэффициентом 2 через D', B', C' и O' соответственно. Поскольку основание высоты треугольника A'BC лежит на описанной окружности треугольника KLM, то B'D'A'C' – равнобокая трапеция, а O' – центр её описанной окружности.

  Заметим, что ADBC получается из A'D'B'C' параллельным переносом на вектор   , значит B'DAC' – равнобокая трапеция. Обозначим через x и y расстояния от O' до B'C' и A'D' соответственно, а через a и b – половины длин B'C' и D'A', тогда  x² + a² = y² + b².

  Рассмотрим точкуY, делящую отрезокO'Kв отношении  2 : 1.  Заметим, что расстояние отYдоB'C'равно  ⅓ (5x+ 4y),  а расстояние отYдоADравно ⅓ (4x+ 5y).   значит,    то есть точкаY– центр описанной окружности равнобокой трапецииB'DAC', а, следовательно, и треугольникаAB'C'. Поэтому  AY= 2AO_A  и точкаYтакже является точкой пересечения медиан треугольникаAD'O'(она делит медиануO'Kв отношении  2 : 1).  Значит,  AP=³/₂AY= 3AO_A,  гдеP– серединаD'O'. ПустьR– точка пересечения медиан треугольникаABC, тогда  AD'= 2AK= 3AR,  то есть треугольникиARO_AиAD'Pподобны с коэффициентом ⅓, значит, RO_A= ⅓D'P= ⅙O'D' = ^r/₆,  гдеr– радиус описанной окружности треугольникаABC.   Аналогично  RO_B=RO_C = ^r/₆.  Таким образом, центр описанной окружности треугольникаO_AO_BO_C– точкаR, а радиус описанной окружности равен одной шестой радиуса описанной окружности треугольникаABC.

Решение 2:   Пусть в треугольнике ABC  O – центр описанной окружности, M – точка пересечения медиан, S – середина BC, H – ортоцентр, O₁ – центр окружности девяти точек, K – основание высоты, проведённой из точки A; точки N и P – середины отрезков A'B и A'C соответственно, L – точка пересечения AN и BC, O' – точка, симметричная O относительно BC, O'' – диаметрально противоположна точке A в описанной окружности треугольника ANP, Q – точка пересечения NP и OO'' (рис. слева).

  Воспользуемся тем, что точкиO, M, O₁иHлежат на одной прямой, причём  OM:MO₁:O₁H= 2 : 1 : 3  (см. задачи[155595](https://mirolimp.ru/tasks/155595)и[164414](https://mirolimp.ru/tasks/164414), рис. справа). В частности, из этого следует, что  MO₁= ⅙OH.  Докажем, что  MO_A= ⅙OA.     (*).   ТочкиO₁иO_Aравноудалены от точекNиP(O₁равноудалена от серединABиAC), поэтому прямаяO₁O_Aперпендикулярна сторонеBC. Следовательно, проекция отрезкаMO_Aна прямуюBCв шесть раз меньше, чем проекция отрезкаOAна ту же прямую.   Значит, утверждение (*) будет следовать из того, что прямыеOAиMO_Aобразуют равные углы сBC. Иначе говоря (так как  SO₁||AO  и  SO₁=O₁K),  требуется доказать, что прямыеMO_AиO₁Kпараллельны.   Пусть прямая, проходящая черезMи параллельнаяO₁K, пересекает прямуюAKв точкеX. Тогда  KX= ⅓HK.  Докажем, что  O₁O_A = KX= ¼HX,  откуда и будет следовать искомая параллельность.   Покажем, что точкиL, A, C, Xлежат на одной окружности. Действительно, из задачи[155463](https://mirolimp.ru/tasks/155463)и теоремы о произведении длин отрезков хорд следует, что  LK·KC= ⅓BK·KC= ⅓HK·AK = KX·KA.  Следовательно,  ∠LAK= ∠LCX= ∠KCX.   Заметим, что:   1) при гомотетии с центромAи коэффициентом 2 образомO_AявляетсяO'', а образомO₁–O';   2)  ∠NO'O''= ∠CHK  (оба они равны ∠ABC) и  ∠O''NQ= ∠O''NP= ∠NAA'= ∠LAK  (в силу параллельностиO'O''иAA'и того, что  ∠ANO''= 90°);   3)  O'Q= ½HK  (посколькуOO' = AH,  аNP– средняя линия).   Из вышеперечисленных фактов следует, что треугольникO'NO_Aподобен треугольникуHCXс коэффициентом 0,5. Следовательно, O₁A= ½O'O''= ¼HX, что и требовалось.