Докажите, что прямые A1A2 и XY параллельны

  Докажем, что  ∠A₂A₁Y + ∠XYA₁ = 180°,  откуда и будет следовать утверждение задачи. Рассмотрим описанную окружность данного семиугольника (см. рис.). Поскольку четырёхугольник A₁A₂A₃A₆ – вписанный, то  ∠A₂A₁A₆ = ∠XA₃A₆.  Теперь достаточно доказать, что четырёхугольник XA₃A₆Y вписанный.

  Заметим, что ∠A₃XA₆= ∠A₂XA₆= ½ (⌣A₂A₁A₆– ⌣A₃A₄A₅) =^π/₇  и  ∠A₃YA₆= ∠A₃YA₁= ½ (⌣A₁A₂A₃– ⌣A₆A₅) =^π/₇,  то есть четырёхугольникXA₃A₆Y– вписанный.