Пересечение прямых в задаче с вневписанными окружностями

  Так как центры вневписанных окружностей равноудалены от прямых, содержащих стороны треугольника, то прямая I_AX_C симметрична прямой, проходящей через I_A и перпендикулярной BC, относительно прямой I_AI_B. Аналогично рассматривается симметрия прямой I_BX_C относительно прямой I_AI_B. Следовательно, точка X_C симметрична точке пересечения перпендикуляров к сторонам BC и AC треугольника, проведённых из точек I_A и I_B соответственно, относительно прямой I_AI_B. Аналогично можно определить точки X_A и X_B.

  Из задачи[153730](https://mirolimp.ru/tasks/153730)следует, что треугольникABCявляется ортотреугольником треугольникаI_AI_BI_C. Значит, перпендикуляры, опущенные из вершинI_A, I_BиI_CтреугольникаI_AI_BI_Cна прямыеBC, ACиABсоответственно, пересекаются в центре описанной окружности треугольникаI_AI_BI_C(см. задачу[152815](https://mirolimp.ru/tasks/152815)).   Сменив обозначения на более привычные, получим, что задача сводится к доказательству следующего факта.   В треугольникеABCточкаO– центр описанной окружности, точкаX_CсимметричнаOотносительно стороныAB. Аналогично определяются точкиX_AиX_B. Тогда прямыеAX_A, BX_BиCX_Cпересекаются в одной точке.   Мы докажем, что эти три прямые проходят через середину отрезкаOH, гдеH– ортоцентр треугольникаABC.   Действительно, из задачи[153528](https://mirolimp.ru/tasks/153528)следует, чтоCX_Cявляется диагональю параллелограммаCOX_CH, то есть проходит через середину отрезкаOH(рис. справа). Для двух других прямых доказательство аналогично.