Задание по олимпиадной математике: квартиры в доме Васи

  Так как двузначных номеров квартир не больше чем 90, то количество подъездов не больше девяти. Рассмотрим два случая.

  1) Все двузначные номера квартир находятся в Васином подъезде. Тогда Вася живет в первом подъезде, квартир в нем не меньше ста, значит, этажей в доме не меньше 25. Следовательно, в доме 9 подъездов, в каждом из которых может быть по 100, по 104 или по 108 квартир  (112·9 > 1000).  Значит, всего квартир в доме 900, 936 или 972.

  2) Не все двузначные номера квартир находятся в Васином подъезде. Обозначив количество подъездов через n, получим, что у него в подъезде 10n квартир с двузначными номерами, где  1 ≤ n ≤ 8. 

  Если этот подъезд – первый, то в нем есть однозначные номера квартир, поэтому квартир в Васином подъезде  10n + 9,  что не делится на 4. Следовательно, в Васином подъезде не может находиться 80, 70, 60 или 50 квартир с двузначными номерами (такие количества квартир с двузначными номерами могут быть только в первом подъезде).

  Если же в этом подъезде есть трёхзначные номера, то во всех предыдущих подъездах в сумме  99 – 10n  квартир, что также не делится на 4.

  Таким образом, в Васином подъезде есть только двузначные номера квартир. Если их 40, то подъездов четыре, и в каждом по 40 квартир. Тогда в доме

40·4 = 160  квартир.

  Если же их не больше чем 30, то подъездов не более трёх, а квартир не больше чем 90, что противоречит тому, что в доме есть квартиры с трёхзначными номерами.