Задача № 1653699, 10, 11 классы2 / 5

Олимпиадная задача об окружностях и касательных

Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что 2MN < AB.

Разобрать решение

По теореме об угле между касательной и хордой ∠ACM = ∠CBA и ∠BCN = ∠CAB. Поскольку угол ACB тупой, точки A, M, N, B лежат на прямой AB именно в таком порядке. По теореме о касательной и секущей AM = ^AC²/_AB и BN = ^BC²/_AB. Применив сначала неравенство Коши, а затем неравенство треугольника, получаем, что , что равносильно доказываемому неравенству.