Диагонали трапеции ABCD и площадь: олимпиадная задача

  Поскольку  BC || AD,  то  S_ABD = S_ACD,  следовательно,  S_AOB = S_DOC.  Поэтому достаточно доказать, что  S_AOK = ½ S_ACD.  Пусть P и Q – середины оснований BC и AD (см. рис.). Заметим, что прямая PQ проходит через точку O.

 CQ– медиана треугольникаACD, откуда  ½S_ACD = S_CQD = S_CQK + S_CKD.  Поскольку  CK || OQ,  то  S_CQK = S_COK,  следовательно, S_CQK + S_CKD = S_COK + S_CKD = S_OCDK,  что и требовалось.