Восстановление треугольника ABC: олимпиадная задача
В треугольнике ABC на сторонах AC, BC и AB отметили точки D, E и F соответственно, так, что AD = AB, EC = DC, BF = BE. После этого стёрли всё, кроме точек E, F и D. Восстановите треугольник ABC.
Разобрать решение
Заметим, что серединные перпендикуляры к отрезкам DE и EF содержат биссектрисы треугольника ABC. Следовательно, центр описанной окружности треугольника DEF совпадает с центром I вписанной окружности треугольника ABC (см. рис.).
Поскольку AD = AB иAI– биссектриса углаAтреугольникаABC, то треугольникиADIиABIравны. Следовательно, DI = BI, то есть точкаBлежит на описанной окружности треугольникаDEF. Отсюда вытекает следующее построение: 1) находимIкак точку пересечения серединных перпендикуляров к отрезкамDEиEF; 2) находимBкак точку пересечения серединного перпендикуляра к отрезкуEFи описанной окружности треугольникаDEF; 3) находимAкак точку пересечения серединного перпендикуляра кBDи прямойBF; 4) находимCкак точку пересечения прямыхADиBE.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.