Олимпиадная задача по планиметрии с автором Ивлев Ф.

  Проведём через точку P прямые PA' и PB' так, чтобы точки A' и B' лежали на BC и AC соответственно и прямые PA' и PB' были параллельны AC и BC соответственно (см. рис.). Заметим, что  ∠CAH = 90° – ∠ACH = ∠QBC.

  ПустьR– точка пересечения прямыхACиHQ. Обозначим черезDиEточки пересеченияHQсCMиBQсACсоответственно. ТреугольникиRDCиQER– прямоугольные, поэтому  ∠ACP= 90° – ∠DRC= ∠HQB.  Следовательно, треугольникиAPCиBHQподобны по двум углам.   ПустьO– ортоцентр треугольникаABC. Тогда треугольникиBHOиAPB'тоже подобны. Следовательно,  BO:OQ = AB':B'C.  ПосколькуB'PA'C– паралеллограмм, серединаNотрезкаA'B'лежит наPC. НоPCлежит на медиане треугольникаABC, значит, отрезокB'A'параллеленAB. Следовательно,  BA':A'C = AB':B'C = BO:OQ,  и по теореме Фалеса,  A'O || QC.  A'P || AC⊥BQ.  Следовательно,P– ортоцентр треугольникаOBA', а значит,  BP⊥A'O || QC,  что и требовалось доказать.