Угол BAC в треугольнике ABC с окружностями
Точки O и I – центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного треугольника ABC. Две равные окружности касаются сторон AB, BC и AC, BC соответственно; кроме этого, они касаются друг друга в точке K. Оказалось, что K лежит на прямой OI. Найдите ∠BAC.
Показать ответ
90°.
Разобрать решение
Обозначим центры двух равных окружностей, упомянутых в условии, соответственно IB и IC (см. рис.). Заметим, что IBIC || BC, так как расстояния от точек IB и IC до прямой BC равны. Следовательно, треугольники IBIIC и BIC гомотетичны и их медианы IK и IM лежат на одной прямой. Но согласно условию это все та же прямая OI, то есть M, O, и I лежат на одной прямой. Значит, либо прямая OM – серединный перпендикуляр к стороне BC, либо точки M и O совпадают.
В первом случаеIлежит на серединном перпендикуляре к сторонеBC, откуда следует равенство угловIBCиICB. Но тогда равны и углыBиC, а равнобедренность треугольникаABCзапрещена условием. Во втором случае уголA– прямой, так как опирается на диаметрBCописанной окружности треугольникаABC.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.