Принципы «почти квадратов» в числах

  Пусть такие числа нашлись.   Первый способ. Cреди восьми последовательных натуральных чисел найдутся числа, дающие остатки 2 и 6 при делении на 8. Они делятся на 2, но не делятся на 4, так что они обязаны иметь вид 2k² и 2m². Тогда  2k² – 2m² = 4,  то есть  k² – m² = 2,  что невозможно. Противоречие.   Второй способ. Снова рассмотрим число n, дающее остаток 6 при делении на 8. Тогда  n = 8k + 6 = 2m², то есть  m² = 4k + 3. Но квадрат целого числа не может давать остаток 3 при делении на 4.