Олимпиадная задача: вершины икосаэдров и правильный октаэдр

  Заметим, что ни один из икосаэдров не может содержать четырёх вершин октаэдра. Действительно, среди четырёх вершин октаэдра обязательно найдутся две противоположные, а любая из остальных вершин образует с ними равнобедренный прямоугольный треугольник. Но среди вершин икосаэдра нельзя выбрать три вершины такого треугольника.

  Таким образом, одному из данных икосаэдров принадлежат три вершины одной грани октаэдра, а другому – три вершины противоположной грани. Заметим теперь, что между вершинами икосаэдра существуют только три различных расстояния: одно равно ребру икосаэдра, другое – диагонали правильного пятиугольника со стороной, равной ребру, третье – расстоянию между противоположными вершинами. Правильный треугольник могут образовывать только вершины с расстояниями первых двух видов. Так как икосаэдры неравны, то для одного из них грань октаэдра совпадает с гранью, а для другого с треугольником, образованным диагоналями. Следовательно, отношение рёбер равно отношению диагонали правильного пятиугольника к его стороне, то есть   .