Олимпиадная задача по геометрии: высота в треугольнике ABC
В прямоугольном треугольнике ABC CH – высота, проведённая к гипотенузе. Окружность с центром H и радиусом CH пересекает больший катет AC в точке M. Точка B' симметрична точке B относительно H. В точке B' восставлен перпендикуляр к гипотенузе, который пересекает окружность в точке K. Докажите, что:
а) B'M || BC;
б) AK – касательная к окружности.
Разобрать решение
а) Первый способ. Проведём высоту HN к основанию равнобедренного треугольника CHM. Тогда CN = NM. Так как BH = B'H и NH || BC, то прямая, проходящая через точку B' параллельно HN, пересечёт AC в точке M (по теореме Фалеса). а) Второй способ. ∠CMH = ∠MCH = ∠CBB' = ∠CB'B = β, поэтому точки C, H, B' и M лежат на одной окружности. Следовательно,
∠CB'M = ∠CHM = 180° – 2β. Значит, ∠AB'M = 180° – ∠CB'M – ∠CB'B = β, что и требовалось. б) KH2 = CH2 = AH·BH = AH·B'H. Следовательно, треугольники AKH и AB'K подобны, то есть угол AKH – прямой.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.