Вписанный четырехугольник BXMY: доказательство конструкции
Точка M – середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AM и CM выбраны точки P и Q соответственно таким образом, что PQ = AC/2. Описанная окружность треугольника ABQ второй раз пересекает сторону BC в точке X, а описанная окружность треугольника BCP, второй раз пересекает сторону AB в точке Y. Докажите, что четырёхугольник BXMY – вписанный.
Разобрать решение
Решение 1: Из вписанности четырёхугольников BCPY и BAQX следует, что ∠APY = ∠ABC = ∠CQX. Пусть прямая, проходящая через M параллельно QX, пересекает прямую BC в точке K, а прямая, проходящая через M параллельно PY, пересекает прямую AB в точке L. Тогда ∠AML = ∠ABC = ∠CMK, откуда ∠ALM = 180° – ∠LAM – ∠AML = 180° – ∠BAC –∠ABC = ∠ACB. Значит, треугольники MAL и MKC подобны по двум углам.
По условию AP = AM – PM = PQ – PM = MQ; аналогично CQ = PM. Отсюда AY:YL = AP:PM = MQ:QC = KX:XC. Значит,YиX– соответственные точки в подобных треугольникахMALиMKC. Следовательно, ∠MXC= ∠MYL= ∠MYB. Это и означает, что четырёхугольникBYMXвписан.
Решение 2: Выберем на отрезке PQ такую точку Z, что CQ = QZ. Тогда AP + QC = AC – PQ = PQ, PZ = PQ – QZ = PQ – QC = AP.
Из вписанности четырёхугольникаBYPCимеем AB·AY = AP·AC= 2AP·AC/2=AZ·AM. АналогичноCX·CB = CZ·CM. Если Z ≠ M, полученные равенства означают, что каждая из четвёрок точекB, Y, Z, MиB, X, Z, Mлежит на одной окружности, то есть точкиXиYлежат на описанной окружности треугольникаBMZ. Если же Z = M, то те же равенства означают, что точкиXиYлежат на (единственной!) окружности, проходящей черезBи касающейсяACв точкеM.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.