Исследовать центры описанных окружностей треугольников AMK

  Пусть угол C – острый. Пусть O – центр описанной окружности треугольника AMK. Тогда  ∠AOK = 2∠AMK = 2∠C,  а  ∠CAO = ∠AKO = 90° – ∠C.  Таким образом, этот угол не зависит от положения точек K, M. Следовательно, все центры лежат на одной прямой. Более того, поскольку все прямые KO при различных положениях точки K параллельны друг другу, то, когда точка K пробегает отрезок AC, точка O пробегает боковую сторону равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании  90° – ∠C  (этот треугольник и точка B лежат в разных полуплоскостях относительно AC).

  Если угол C тупой, то рассуждения аналогичны; получается боковая сторона равнобедренного треугольника с углом при основании  ∠C – 90°,  лежащего по ту же сторону от AC, что и B.