Перпендикуляры в прямоугольнике: задача по олимпиадной математике
В прямоугольнике ABCD точка M – середина стороны CD. Через точку C провели прямую, перпендикулярную прямой BM, а через точку M – прямую, перпендикулярную диагонали BD. Докажите, что два проведённых перпендикуляра пересекаются на прямой AD.
Разобрать решение
Решение 1: Пусть продолжение перпендикуляра, опущенного на прямую BD из точки M, пересекает сторону AD в точке E (см. рис.). Мы хотим доказать, что прямые CE и BM перпендикулярны.
Обозначим через F точку пересечения прямых ME и BC и посмотрим на треугольник BDF: в нём высоты DC и FE пересекаются в точке M. Значит, и прямая BM
является высотой этого треугольника, BM ⊥ DF.
Но четырёхугольник CFDE является параллелограммом (треугольники EMD и FMC равны по катету и острому углу, поэтому отрезки CF и ED равны и параллельны). Следовательно, прямая BM, перпендикулярная DF, перпендикулярна и CE.
Решение 2: Пусть BC = a, CM = MD = b, перпендикуляр, опущенный из C на BM, пересекает AD в точке E1, а перпендикуляр, опущенный из M на BD, пересекает AD в точке E2 (см. рис.).
Из равенства углов E1CD и MBC
следует подобие треугольников E1CD и MBC, откуда E1D = 2b²/a. Аналогично из подобия треугольников E2MD и DBC следует, что E2D = 2b²/a. Итак,
E1D = E2D, то есть точки E1 и E2 совпадают.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.