Углы вписанного четырехугольника и окружность

  MN – средняя линия в треугольнике AKC, поэтому  ∠BAC = ∠NMC.  Кроме того,  ∠BAC = ∠BDC,  так как четырёхугольник ABCD – вписанный.

  Пусть точки M и N лежат с одной стороны от прямой BD. Тогда M лежит внутри треугольника BCD и, тем более, внутри треугольника BND, а значит, и внутри его описанной окружности. Но тогда точки B, N, D и M не могут лежать на одной окружности. Значит, N и M лежат по разные стороны от BD, и  ∠BDC = ∠BMN.

  Из параллельности MN и AK вытекает, что  ∠BMN = ∠ABM,  откуда  ∠BAC = ∠BDC = ∠ABM.  Отсюда получаем  AM = MB,  то есть в треугольнике ABC медиана BM равна половине стороны AC. Следовательно,  ∠ABC = 90°,  а значит, и  ∠ADC = 90°.