Олимпиадная задача: Геометрическое место точек внутри окружности треуг

  Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Докажем, что указанные окружности касаются тогда и только тогда, когда  ∠BXC = ∠BOC.  Полное доказательство требует разбора большого количества случаев. Рассмотрим некоторые из них (остальные разбираются аналогично).

  1) Угол A – острый, точка X находится внутри треугольника ABC. Тогда точка K находится на дуге AC, L – на дуге AB. Описанные окружности треугольников AFK и AEL могут касаться только внешним образом, а их общая касательная l проходит внутри угла BAC. Значит, сумма углов, образованных l со сторонами AB и AC, равна углу BAC. C другой стороны, эти углы равны соответственно углам ALE и AKF, то есть измеряются половинами дуг AK и AL. Следовательно, дуги KL и BC равны, и  ∠BXC = 2∠BAC = ∠BOC.  Аналогично получаем, что при этом условии указанные описанные окружности касаются.

  2) Угол A – острый, точка X находится в сегменте, отсечённом стороной AC. Тогда точка K находится на дуге AC, L – на дуге AK. Описанные окружности треугольников AFK и AEL могут касаться только внутренним образом, их общая касательная l проходит вне угла BAC. В этом случае угол BAC равен разности углов, образованных l со сторонами AB и AC. Вновь дуги KL и BC равны, и далее рассуждения не отличаются от 1).

  3) Угол A – тупой, точка X находится в сегменте, отсечённом стороной BC и не содержащем точку A. Тогда точка K находится на большей дуге BC, L – на дуге BK. Описанные окружности треугольников AFK и AEL могут касаться только внешним образом, их общая касательная l проходит внутри угла BAC. Сумма углов, образованных l со сторонами AB и AC, равна углу BAC. Эти углы равны углам ALF и AKE и измеряются половинами дуг AK и AL. Дуги KL и BC снова равны, но  ∠BXC = 2(180° – ∠BAC) = ∠BOC.