Отношение длин отрезков снежинки

  Вместо отношения  OX : XY  будем искать равное ему отношение  OX' : X'Y' (см. рис.).

  В силу поворотной симметрии снежинки угол ∠XOX'равен 60°. А из симметрии снежинки относительно прямойOXпрямаяXMперпендикулярна прямойOM.   В треугольникеX'L'Y'уголX'L'Y'равен углуOX'Mкак вертикальный. А углыX'L'Y'иX'OMравны, так как параллельны прямыеY'L'иOM.   Следовательно,X'MOиX'LY'– прямоугольные треугольники с углом 30°.   Первый способ. Осталось найти отношение гипотенуз этих треугольников – или, что то же самое, отношение гипотенуз равных им треугольников X'Y'R' и X'MX.  НоXX'R'– тоже прямоугольный треугольник с углом 30°. Действительно,  ∠XX'R'= 180° – ∠Y'X'R'– ∠XX'O= 90°,  а  ∠XX'R'= 90° – ∠OXX'= 30°.   Таким образом, треугольникиX'MX, XX'R'иX'R'Y'подобны, и     Второй способ. Пусть C – точка пересечения прямых Y'Y'' и LR'''.

  ТреугольникLY'Cравен треугольникуYR'X; значит,  LC = XY,  и треугольникиLCXиXYLравны. Поэтому точкаCлежит на прямойXX'и треугольникNCX'равен треугольникуL'Y'X'. Следовательно (поскольку  CN:CX'= 1 : 2,  а  CX' = Y'X'), YX:XO = CX': (CX' + CX) = 2 : 3.