Олимпиадная задача о точках на дуге окружности
Пусть P – произвольная точка на дуге AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки B. Биссектриса угла APB пересекает биссектрису угла BAC в точке Pa; биссектриса угла CPB пересекает биссектрису угла BCA в точке Pc. Докажите, что для всех точек P центры описанных окружностей треугольников PPaPc лежат на одной прямой.
Разобрать решение
Прямые PPa, PPc вторично пересекают описанную окружность треугольника в серединах C', A' дуг AB, BC (см. рис.).
Поэтому ∠PaPPc= ½ (∠A+ ∠C) = 180° – ∠AIC, гдеI– центр вписанной окружности треугольника. Значит, окружностьPPaPcпроходит через точкуI. Зафиксируем теперь какое-нибудь положение точкиPи вторую точкуJпересечения описанных окружностей треугольниковPPaPcиABC. Для любой другой точкиP'имеем ∠JP'P'c= ∠JP'A'= 180° – ∠JPA'= 180° – ∠JPPc= ∠JIPc= ∠JIP'c (еслиPиP'расположены, как на рисунке, в других случаях рассуждения аналогичны), то есть окружностьP'P'aP'cтакже проходит черезJ. Следовательно, центры всех окружностейPPaPcлежат на серединном перпендикуляре к отрезкуIJ.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.