Пастор А. о точках внутри четырёхугольника ABCD

  Обозначим окружности, описанные около четырёхугольника ABCD и треугольников ABP, CDP, ABQ, CDQ через Ω, ω₁, ω₂, ω₃, ω₄ соответственно (см. рис.).

  Пусть X – проекция P на BC; обозначим прямую PX через l₁. Тогда  ∠BPX = 90° – ∠PBC = ∠PAB;  значит, прямая l₁ касается окружности ω₁. Аналогично l₁ касается окружности ω₂; итак, прямая l₁ и окружности ω₁, ω₂ касаются в точке P. Так же доказывается, что прямая l₂, проходящая через Q и перпендикулярная AD, и окружности ω₃ и ω₄ касаются в точке Q. Рассмотрим два случая.

  1) Прямые AB и CD пересекаются в некоторой точке R. Обозначим через P₁ и P₂ вторые точки пересечения прямой RP с ω₁ и ω₂  (P₁ = P,  если RP касается ω₁; аналогично для P₂). Тогда  RP·RP₁ = RA·RB = RD·RC = RP·RP₂,  то есть  P₁ = P₂.  Так как P – единственная общая точка ω₁ и ω₂, то  P₁ = P₂ = P.  Значит, RP совпадает с l₁, то есть  RP² = RA·RB.

  Аналогично RQ совпадает с l₂, и  RQ² = RA·RB.  Следовательно,  RP² = RA·RB = RQ²,  то есть треугольник PQR – равнобедренный и его основание PQ образует равные углы с прямыми QR и PR, а значит – и с перпендикулярными им прямыми AD и BC.

  2)  AB || CD.  Тогда ABCD – равнобокая трапеция или прямоугольник. Этот четырёхугольник и все рассматриваемые окружности симметричны относительно общего серединного перпендикуляра к AB и CD. Следовательно, точки P и Q лежат на этой прямой, а она, очевидно, образует равные углы с прямыми AD и BC.