Олимпиадная задача по планиметрии: четырёхугольник ABCD и равенство PK
На сторонах четырёхугольника ABCD с перпендикулярными диагоналями во внешнюю сторону построены подобные треугольники ABM, CBP, CDL и ADK (соседние ориентированы по-разному). Докажите, что PK = ML.
Разобрать решение
Из подобия треугольников следует, что 
(рис. слева). Заметим, что 
, 
.
Рассмотрим суммы в скобках. 
получается из 
поворотом на угол α = 
и умножением на 
. Аналогично 
получается из
поворотом на угол –α и умножением на 
.
Заметим, что 
, а 
(рис. справа). Поскольку диагонали
перпендикулярны, то эти векторы симметричны относительно BD, следовательно, суммы в скобках тоже симметричны относительно BD, и при прибавлении к ним вектора 
получаются векторы одинаковой длины.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.