Задание по олимпиадной математике: пересечение окружностей треугольник
Дан треугольник ABC. На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяты соответственно точки C1 и A1 так, что AC = A1C = AC1.
Докажите, что описанные окружности треугольников ABA1 и CBC1 пересекаются на биссектрисе угла B.
Разобрать решение
Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC (см. рис.). Докажем, что описанная окружность треугольника ABI проходит через точку A1.
Первый способ. ∠AIB = 90° + ½ ∠C (см. задачу 155448), а ∠CA1A = ∠CAA1 = 90° – ½ ∠C = 180° – ∠AIB.
Второй способ. Центр описанной окружности треугольника Ω треугольника AIB совпадает с серединой дуги AB описанной окружности
треугольника ABC ("теорема о трилистнике", см. задачу 153119). Следовательно, окружность Ω пересекает сторону CB в точке, симметричной точке A, то есть в A1.
Аналогично, описанная окружность треугольника СIB проходит через точку C1. Следовательно, описанные окружности треугольников ABA1 и CBC1 пересекаются в точке I.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.