Теорема о трижды перспективных треугольниках — олимпиадная задача
Даны два треугольникаABCи A1B1C1. Известно, что прямыеAA1,BB1и CC1пересекаются в одной точке O, прямыеAA1,BC1и CB1пересекаются в одной точке O1и прямыеAC1,BB1и CA1пересекаются в одной точке O2. Докажите, что прямыеAB1,BA1и CC1тоже пересекаются в одной точке O3(теорема о трижды перспективных треугольниках).
Разобрать решение
Рассмотрим проективное преобразование с исключительной прямойO1O2и обозначим через A',B',... образы точек A,B,... ТогдаA'C1'|C'A1'|B'B1',B'C1'|C'B1'|A'A1'. Будем для определенности считать, что точка Cлежит внутри углаA'O'B'(остальные случаи переобозначением сводятся к этому). Сделав еще, если необходимо, аффинное преобразование, мы можем считать, что параллелограммO'A'C1'B'является квадратом, а значит,O'A1'C'B1' — тоже квадрат, причем диагоналиO'C1' и O'C'этих квадратов лежат на одной прямой. Остается воспользоваться симметрией относительно этой прямой.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.