Проективное преобразование с точками O, A, B и прямыми a, b — олимпиад

а) Точка M'лежит на прямойOM, поэтому ее положение однозначно определяется отношениемMO:OM'. Но в силу того, что треугольникиMBOи MAM'подобны,MO:OM'=MB:BA, а последнее отношение не зависит от выбора прямой lпо теореме Фалеса. б) Первое решение.Если данное преобразование (обозначим его P) доопределить в точке O, положивP(O) =O, то, как легко проверить,Pзадает взаимно однозначное преобразование множества всех конечных и бесконечных точек плоскости (чтобы по точке M'построить точку M, надо взять на aпроизвольную точку A, провести прямыеAM',OB|AM'и AB). Ясно, что каждая прямая, проходящая через O, переходит в себя. Каждая прямая l, не проходящая через O, переходит в прямую, параллельнуюOBи проходящую через M. Остается воспользоваться задачей 30.14, г).

Второе решение(набросок). Обозначим данную плоскость через $\pi$, и пусть$\pi{^\prime}$=R($\pi$), где R — некоторый поворот пространства вокруг оси a. ОбозначимR(O) через O', и пусть P — проектирование плоскости $\pi$на плоскость $\pi{^\prime}$из точки пересечения прямойOO'с плоскостью, проходящей через bпараллельно $\pi{^\prime}$. Тогда преобразованиеR^-1oPсовпадает (докажите самостоятельно) с преобразованием, о котором идет речь в формулировке задачи.