Олимпиадная задача: точка E и прямая C₁F в треугольнике ABC
Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C1 – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
а) прямая C1F делит пополам периметр треугольника ABC;
б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.
Разобрать решение
а) Возьмём на продолжении отрезка AC за точку C такую точку B', что CB' = CB. Треугольник BCB' равнобедренный, поэтому
∠AEB = ∠ACB = 2∠CB'B, а значит, E – центр описанной окружности треугольника ABB'. Следовательно, точка F делит отрезок AB' пополам; поэтому прямая C1F (параллельная BB') делит пополам периметр треугольника ABC. б) Ясно, что прямая, проведённая через точку C параллельно BB', является биссектрисой угла ACB. Следовательно, параллельная прямая C1F – биссектриса угла подобного треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника ABC. Биссектрисы этого треугольника пересекаются в одной точке.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.