Олимпиадная задача от Меркурьева А. С.: треугольник ABC и касательная
Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D, DM — диаметр окружности. Прямая BM пересекает сторону AC в точке K. Докажите, что AK = DC.
Разобрать решение
Рассмотрим гомотетию с центром в точке B, переводящую вписанную окружность треугольника ABC в его вневписанную окружность, касающуюся стороны AC. Диаметр этой окружности, соответствующий диаметру DM первой окружности, перпендикулярен AC. Следовательно, вневписанная окружность касается стороны AC в точке K.
Если p — полупериметр треугольника ABC, а F — точка касания вневписанной окружности с лучом BA, то
CD = p - AB, AK = AF = BF - AB = p - AB.
Следовательно,AK=DC.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.