Задача по олимпиадной математике: углы и точка P внутри квадрата

Будем считать, что AP = 1, BP = 2, CP = 3. Пусть P₁ — образ точки P при повороте на 90^o против часовой стрелки вокруг вершины B. Тогда PBP₁ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Поэтому

$\displaystyle \angle$BP₁P = 45^o, P₁P = 2$\displaystyle \sqrt{2}$.

Следовательно,

PP²₁ + P₁C² = 8 + 1 = 9 = 3² = PC².

Значит, треугольникPP₁C— прямоугольный,$\angle$PP₁C= 90^o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$APB = $\displaystyle \angle$CP₁B = $\displaystyle \angle$CP₁P + $\displaystyle \angle$BP₁P = 90^o + 45^o = 135^o.