Олимпиадная задача Готмана: окружности в треугольнике ABC

Поскольку KP и KQ — биссектрисы смежных углов, то $\angle$PKQ = 90^o. Аналогично $\angle$PDQ = 90^o. Поэтому точки K и D лежат на окружности с диаметром PQ. Следовательно,

$\displaystyle \angle$KPQ = $\displaystyle \angle$KDQ = 45^o.

ПоэтомуPKQ— равнобедренный прямоугольный треугольник. Докажем теперь, что прямоугольный треугольник PDQ подобен треугольнику ACB. Действительно, треугольник ADC подобен треугольнику CDB по двум углам, а т.к. коэффициент подобия равен отношению ${\frac{r_{1}}{r_{2}}}$ радиусов вписанных окружностей этих треугольников, то

$\displaystyle {\frac{DP}{DQ}}$ = $\displaystyle {\frac{r_{1}\sqrt{2}}{r_{2}\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{r_{1}}{r_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{BC}}$.

Следовательно, треугольникиPDQиACBподобны. Тогда

$\displaystyle \angle$QKD = $\displaystyle \angle$DPQ = $\displaystyle \angle$CAD = $\displaystyle \angle$BCD,

поэтомуKQ||CB. АналогичноKP||CA. Следовательно,

$\displaystyle \angle$CMN = $\displaystyle \angle$MKP = $\displaystyle \angle$DKP = $\displaystyle \angle$PQD = $\displaystyle \angle$CBA.

Значит, треугольникCMNподобен треугольникуCBA. Поскольку $\angle$CMK = $\angle$ABC = $\angle$ACD, то треугольник MKC — равнобедренный, поэтому KC = KM. Аналогично KC = KN.

Поскольку KQ || CN, а CQ — биссектриса угла KCN,

$\displaystyle \angle$CQK = $\displaystyle \angle$QCN = $\displaystyle \angle$QCK.

Поэтому треугольникCKQ— равнобедренный иKQ=KC. АналогичноKP=KC. Следовательно, точкиC,M,N,PиQлежат на окружности с центромK. Вычислим радиус этой окружности. Пусть r — радиус вписанной окружности треугольника ABC. Тогда

r² = r²₁ + r²₂, PQ² = PD² + QD² = 2r²₁ + 2r²₂ = 2r².

Следовательно,KQ=${\frac{PQ}{\sqrt{2}}}$=r.