Задание олимпиады по математике: квадрат ABCD и треугольник APQ

Первый способ.

Пусть вневписанная окружность треугольника APQ касается гипотенузы PQ в точке F, а продолжений катетов AP и AQ -- в точках X и Y соответственно (рис.1). Тогда

AX + AY = AP + PX + AQ + QY = AP + PF + AQ + QF =

= AP + AQ + (PF + QF) = AP + AQ + PQ = 2,

а т.к.AX=AY, тоAX=ABиAY=AD, т.е. точкаXсовпадает с точкойB, а точкаY— с точкойD. ПоэтомуC— центр окружности. Следовательно,

$\displaystyle \angle$PCQ = 90^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$BAC = 90^o - 45^o = 45^o.

Второй способ.

Пусть M — образ точки D при повороте на 90^o по часовой стрелке вокруг точки C (рис.2). Тогда точка M лежит на прямой AB. Поскольку

PM = PB + BM = PB + DQ = 2 - AP - AQ = PQ,

то треугольникиCPMиCPQравны по трём сторонам, а т.к.$\angle$QCM= 90^o, то$\angle$PCQ=$\angle$PCM= 45^o.