Задание олимпиады по планиметрии: высоты из вершины параллелограмма B

Первый способ.

Поскольку диагональ BD данного параллелограмма видна из точек K и H под прямым углом, точки K и H расположены на окружности с диаметром BD. Пусть P — проекция центра O этой окружности (O — середина BD) на сторону KH треугольника BKH, M — точка пересечения высот треугольника BKH (рис.1). Тогда

OP = $\displaystyle \sqrt{OH^{2} - PH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^{2} - \left(\frac{a}{2}\right)^{2}}$=$\displaystyle {\frac{\sqrt{b^{2} - a^{2}}}{2}}$.

Следовательно,BM= 2OP=$\sqrt{b^{2} - a^{2}}$.

Второй способ.

Пусть F — проекция точки D на прямую BC, M — точка пересечения высот треугольника BKH (рис.2). При параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{KD}$ точка B переходит в точку F, а точка M — в точку H (т.к. KMHD — параллелограмм). Поэтому треугольник FHD равен треугольнику BMK.

В прямоугольном треугольнике KHF известны катет KH = a и гипотенуза KF = BD = b (KBFD — прямоугольник). Следовательно,

BM = FH = $\displaystyle \sqrt{KF^{2} - KH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{b^{2} - a^{2}}$.